高中数学期望公式
【高中数学期望公式】在高中数学中，期望是概率论中的一个重要概念，广泛应用于随机变量的分析中。期望可以理解为在大量重复试验中，随机变量的平均值或长期趋势。掌握期望公式的应用，有助于解决实际问题，尤其是在统计、经济、游戏设计等领域。
一、期望的基本定义
设一个随机变量 $ X $ 可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则其期望 $ E(X) $ 定义为：
$$
E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + \dots + x_n p_n
$$
即：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
二、常见分布的期望公式总结
| 分布名称 | 随机变量取值 | 概率分布 | 期望公式 |
| 两点分布（0-1分布） | 0 或 1 | $ P(X=1) = p $, $ P(X=0) = 1-p $ | $ E(X) = p $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | 0, 1, ..., n | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | 0, 1, 2, ... | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ E(X) = \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | 区间 [a, b] 内任意实数 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ E(X) = \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | 实数集 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ E(X) = \mu $ |
三、期望的性质
1. 线性性：对于任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 可加性：对于两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立性：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
四、实际应用举例
例题1：抛一枚不均匀的硬币，正面出现的概率为 0.6，反面为 0.4。若正面得 5 分，反面得 -2 分，求得分的期望。
解：
设 $ X $ 表示得分，则 $ X $ 的可能取值为 5 和 -2，对应概率分别为 0.6 和 0.4。
$$
E(X) = 5 \times 0.6 + (-2) \times 0.4 = 3 - 0.8 = 2.2
$$
答：期望得分为 2.2 分。
五、总结
期望是衡量随机变量“平均结果”的重要指标，适用于多种概率分布。掌握不同分布的期望公式和性质，有助于更高效地进行数学建模与问题分析。在高中阶段，重点应放在两点分布、二项分布、均匀分布等常见模型上，通过练习加深对期望的理解与应用能力。
如需进一步学习方差、协方差等概念，可继续探讨概率论的其他核心内容。