【n阶行列式的性质是什么】n阶行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算、解线性方程组、计算向量空间的体积等方面具有广泛应用。理解n阶行列式的性质有助于我们更深入地掌握其应用与计算方法。
以下是n阶行列式的几个主要性质，以加表格的形式进行展示：
一、说明
1. 行列式的值与矩阵的转置无关：即对于任意n阶矩阵A，有
2. 交换两行（列）会改变行列式的符号：若交换矩阵的任意两行或两列，则行列式的值变为原来的相反数。
3. 行列式中某一行（列）全为零时，行列式为零：如果某一行或某一列的所有元素均为0，则行列式的值为0。
4. 行列式中两行（列）相同或成比例时，行列式为零：若某两行或两列完全相同，或成比例关系，则行列式为0。
5. 行列式的线性性质：当某一行（列）是两个向量的和时，行列式可以拆分为两个行列式的和；同时，行列式对行（列）的乘法具有分配性。
6. 行列式在行（列）相加时的变换规则：若将某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
7. 行列式与矩阵的逆相关：只有当行列式不为零时，矩阵才可逆，且其逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。
8. 行列式与特征值的关系：n阶矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积。
二、n阶行列式的性质表
| 序号 | 性质描述 | 数学表达 | ||||||
| 1 | 行列式与转置矩阵的行列式相等 | A | = | A^T | ||||
| 2 | 交换两行（列）变号 | 若交换i、j行，则 | A | → - | A | |||
| 3 | 某一行（列）全为0，行列式为0 | 若第i行全为0，则 | A | =0 | ||||
| 4 | 两行（列）相同或成比例，行列式为0 | 若第i行=第j行或成比例，则 | A | =0 | ||||
| 5 | 行列式对行（列）的线性性 | 若第i行是a + b，则 | A | = | A₁ | + | A₂ | |
| 6 | 行（列）的线性组合不影响行列式 | 若将第i行加上k×第j行，则 | A | 不变 | ||||
| 7 | 行列式非零时矩阵可逆 | A | ≠ 0 ⇒ A可逆 | |||||
| 8 | 行列式等于特征值的乘积 | A | = λ₁λ₂…λₙ |
通过以上性质，我们可以更好地理解和应用n阶行列式。这些性质不仅在理论分析中起到关键作用，也在实际计算中提供了重要的简化手段。
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