在数学中，心形线是一种非常有趣且美丽的曲线，它在极坐标系中的方程通常表示为 \( r = a(1 + \cos\theta) \)，其中 \( a > 0 \) 是一个常数。心形线因其形状酷似一颗心而得名，在几何学和物理学中有广泛的应用。
当我们讨论心形线时，常常会涉及到它围绕某个轴旋转所形成的立体图形的体积计算。这种情况下，我们可以利用积分的方法来求解心形线旋转后的体积。
假设我们要计算心形线绕极轴（即 \( x \)-轴）旋转一周所形成的体积，那么可以使用以下步骤：
1. 确定旋转体的截面面积：
心形线的极坐标方程 \( r = a(1 + \cos\theta) \) 描述了它的轮廓。当这条曲线绕极轴旋转时，每个点都会形成一个小圆盘，其半径等于该点到极轴的距离 \( r \)。因此，任意一点对应的圆盘面积 \( A(\theta) \) 可以表示为：
\[
A(\theta) = \pi r^2 = \pi [a(1 + \cos\theta)]^2
\]
2. 设置积分表达式：
为了得到整个旋转体的体积，我们需要对所有这些小圆盘的面积进行积分。由于心形线是关于极轴对称的，我们只需从 \( \theta = 0 \) 到 \( \theta = \pi \) 积分即可，然后乘以 2 来获得完整的一周体积：
\[
V = 2 \int_{0}^{\pi} A(\theta) \, d\theta = 2 \int_{0}^{\pi} \pi [a(1 + \cos\theta)]^2 \, d\theta
\]
3. 展开并简化积分：
展开 \( [a(1 + \cos\theta)]^2 \) 后，得到：
\[
[a(1 + \cos\theta)]^2 = a^2 (1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)
\]
因此，体积公式变为：
\[
V = 2\pi a^2 \int_{0}^{\pi} (1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta) \, d\theta
\]
4. 分别计算各项积分：
- 对于常数项 \( \int_{0}^{\pi} 1 \, d\theta = \pi \)
- 对于 \( \cos\theta \) 的积分 \( \int_{0}^{\pi} \cos\theta \, d\theta = 0 \)（因为 \( \cos\theta \) 在 \( [0, \pi] \) 上是对称的）
- 对于 \( \cos^2\theta \) 的积分，利用三角恒等式 \( \cos^2\theta = \frac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)) \)，则有：
\[
\int_{0}^{\pi} \cos^2\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta = \frac{1}{2} (\pi + 0) = \frac{\pi}{2}
\]
5. 最终结果：
将上述结果代入原式，得到：
\[
V = 2\pi a^2 \left[ \pi + 0 + \frac{\pi}{2} \right] = 2\pi a^2 \cdot \frac{3\pi}{2} = 3\pi^2 a^2
\]
因此，心形线绕极轴旋转一周所形成的体积为 \( 3\pi^2 a^2 \)。这个公式展示了如何通过积分方法来处理复杂的几何问题，并且适用于类似的心形线旋转体问题。
